Sublattice-Dependent Nonlinearity in the Topological SSH Model

Sublattice-Dependent Nonlinearity in the Topological SSH Model. Masters thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

[img] PDF
KFUPM_Thesis.pdf
Restricted to Repository staff only until 15 June 2026.

Download (3MB)

Arabic Abstract

تم مؤخرًا اكتشاف أطوار جديدة من المادة تُعرف باسم العوازل الطوبولوجية، حيث يكون للمادة خصائص عازلة في الحجم وموصلة على الحدود. وعلاوة على ذلك، فإن هذه الخاصية المثيرة للاهتمام محمية طوبولوجيًا، مما يعني أنها مقاومة للتشويشات، وهو ما يجعل الحالات الموصلة على الحدود )السطوح( تُظهر سلوكًا خاص ً ا مقاومًا للتبعثر. يتم وصف هذه الأطوار من المادة رياضيًا باستخدام نماذج طوبولوجية. أحد النماذج الطوبولوجية أحادية البُعد التي تمت دراستها بشكل مكثف هو نموذج )Su–Schrieffer–Heeger (SSH. وعلى الرغم من أن مفهوم طوبولوجيا الحزمة مرتبط بطبيعته بالأنظمة الخطية، إلا أن اهتمامًا متزايدًا قد ظهر مؤخرًا حول التفاعل بين اللاخطية، الأطوار الطوبولوجية، والحالات الحديّة. من هذا المنطلق، تأتي دراستنا للاخطية المعتمدة على تحت-الشبكة في نموذج SSH الطوبولوجي، مع دراسة كل من الفضاء الحقيقي والفضاء المتبادل للشبكة البلورية. تم حل المشكلة في فضاء الشبكة الحقيقي باستخدام شروط حدودية مفتوحة، بينما تم حلها في الفضاء المتبادل باستخدام شروط حدودية دورية، مع تباين في إشارات شدة اللاخطية الخاصة بكل تحت-شبكة، حيث يُرمز إلى شدة اللاخطية في تحت-الشبكةA بالرمز gA، وفي تحت-الشبكة B بالرمز gB. في دراسة الفضاء الحقيقي، تم حل المشكلة عدديًا باستخدام طريقة الحقل الذاتي المتّسقة التكرارية. خلال عملية التكرار، تم اختيار جميع حالات الطاقة الذاتية من النموذج الخطي المقابل كنقاط انطلاق، وتم جمع ورسم فقط الحلول غير الخطية التي تتقارب بسرعة كافية. في الحالة التي يكون فيها كل من gA و gB موجبين، تم التوصل إلى أنه في النظام الطوبولوجي غير البسيط )J1 <J2( وعند لاخطيات عالية بما فيه الكفاية، فإن طاقة الحالة الحدية اليسرى )أو اليمنى( تعتمد فقط على gA )أو gB( وتبقى ثابتة بالنسبة لـ gB )أو gA(. علاوة على ذلك، تم العثور على وجود حالة حدية واحدة فقط في النموذج لمجموعة معينة من قيم اللاخطية المعتمدة على تحت-الشبكة. بالا ٕ ضافة إلى ذلك، سواء في النظام الطوبولوجي البسيط أو غير البسيط )بما في ذلك عندما J1 = J2( وعند لاخطيات عالية كفاية، لاحظنا وجود نقطة تماس بين حزمتين طاقويتين. هذه النقطة لم تختف ِ تحت التشويش، بل فقط تغيّر موقعها، مما قد يشير إلى أصل طوبولوجي مشابه للأطوار الطوبولوجية غير الفارغة التي تُلاحظ في أشباه الفلزات من نوع Weyl . أما في الحالة التي يكون فيها لـ gA و gB إشارات متعاكسة، فقد لوحظ استمرار وجود حلول غير متموضعة في الحجم حتى عند لاخطيات عالية جدًا. في دراسة الفضاء المتبادل للشبكة، افترضنا حلولًا من نوع حالات Bloch ، واستخدمنا منهج ً ا شبه تحليلي للحصول على حزم الطاقة، وقمنا بتحليل الاستقرار الديناميكي، ودرسنا أطوار Zak اللاخطية والتقليدية. علاوة على ذلك، تم اشتقاق تعبير عام لطور Zak اللاخطي ينطبق على أي هاميلتوني لاخطي معتمد على الحالة. في الحالة التي يكون فيها كل من gA و gB موجبين وعند لاخطيات عالية كفاية، لوحظ انغلاق في فجوة الطاقة مصحوب بانقطاع في طور Zak اللاخطي، مما يدل على انتقال طوبولوجي في الطور ناتج عن اللاخطية.

English Abstract

Recently, new phases of matter known as topological insulators have been discovered, where a material is an insulator in the bulk and a conductor at the boundary. Moreover, this interesting property is topologically protected, meaning it is robust under perturbation which makes the conducting states on the boundaries (surfaces) exhibit special scattering-resistant behavior. Such phases of matter are described mathematically by topological models. A one dimensional topological model which has been studied extensively is the Su–Schrieffer–Heeger (SSH) model. While the notion of band topology is inherently linked to linear systems, recently there has been growing interest in the interplay between nonlinearities, topological phases and edge states. From this perspective comes our consideration of a sublattice-dependent onsite nonlinearity in the topological SSH model with real lattice and reciprocal lattice studies. Mathematically speaking, the problem in the real lattice space is solved under open boundary conditions, where in the reciprocal lattice space it is solved under periodic boundary conditions, with different signs’ variation of the sublattice-nonlinearities strengths, where gA denotes the nonlinearity strength on sublattice A, and gB is the nonlinearity strength on sublattice B. In the real lattice space study, the problem was solved numerically using the Self-Consistent Field Iterative Method. In the case where gA and gB are both positive, it was found that in the topologically nontrivial regime (J1 <J2) and at sufficiently high nonlinearities, the energy of the left (right) edge state depends only on gA (gB ) and is constant with respect to gB (gA). Moreover, the existence of only one edge state was found in the model for a particular set of values of a sublattice-dependent nonlinearity strength. In addition, in the topologically trivial and nontrivial (including when J1 = J2) regimes and at sufficiently high nonlinearities we noted the presence of a touching point between two energy bands. This touching point was found to only shift (and not disappear) under perturbation, which could indicate a topological origin analogous to gapless topological phases observed in Weyl semimetal. In the case where gA and gB have opposite signs, the persistence of bulk’s delocalized solutions was observed even at extremely high nonlinearities’ strengths. In the reciprocal lattice space study, we assumed Bloch’s state solutions and used semi-analytical approach to obtain energy bands, applied dynamical stability analysis, and studied nonlinear/conventional Zak phases. Furthermore, a general expression of the nonlinear Zak phase, which holds for any well-behaved two-level real Hamiltonian with C1 state-dependent (through Σ = |ψ2(t)|2 − |ψ1(t)|2) onsite nonlinearities, was derived. In the case where gA and gB are positive and at sufficiently high nonlinearity strengths, energy gap-closing accompanied with discontinuity in the nonlinear Zak phase were observed, marking a nonlinearity-induced topological phase transition.

Item Type: Thesis (Masters)
Subjects: Physics
Department: College of Engineering and Physics > Physics
Committee Advisor: Bomantara, Raditya
Committee Members: Bomantara, Raditya and Bahlouli, Hocine and Vogl, Michael
Depositing User: AHMED ALHARTHY (g202202380)
Date Deposited: 16 Jun 2025 11:00
Last Modified: 16 Jun 2025 11:00
URI: http://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/143533