Generalized Optimal Threshold Factors and Structure-Preserving Exponential Integrators. PhD thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

PDF (g202008660) ALTAMIMI_thesis.pdf Restricted to Repository staff only until 21 May 2026. Download (8MB)

Arabic Abstract

تُقدّم هذه الرسالة إطارًا شاملًا لتصميم مخططات تكامل أُسّية عالية الرتبة تحافظ على الخصائص البنيوية الأساسية — مثل الإيجابية والانكماش — في التكامل العددي للمعادلات التفاضلية. وتتمثل المهمة الرئيسة في تحديد، من بين جميع كثيرات الحدود ذات درجة معينة ومشتقات متتالية محددة عند الأصل حتى رتبة معينة، تلك التي تمتلك أطول مجال للرتابة المطلقة على المحور السالب. يُطلق على طول هذا المجال الأعظمي اسم العامل الحدّي الأمثل المعمم، بينما تُعرف كثيرة الحدود المقابلة بـ كثيرة الحدود الحدّية المثلى. لمعالجة هذه المسألة، نقدّم صنفًا جديدًا من المقاييس المنفصلة، التي تتيح كثيراتها المتعامدة وجذورها إطارًا تحليليًا متكاملًا لدراسة العوامل الحدّية المثلى وكثيرات الحدود المرتبطة بها. وتُمكِّن هذه المقاييس من اشتقاق حدود دقيقة للعوامل الحدّية المثلى باستخدام قاعدة التربيع الغاوسي. علاوة على ذلك، تم تطوير خوارزمية فعالة تعتمد على تحويل كريستوفل الطيفي التكيفي لحساب العوامل الحدّية المثلى وكثيرات الحدود المرتبطة بها في الحالة ذات الدرجة العالية. استنادًا إلى هذا الأساس، نقوم ببناء مخططات تكامل أُسّية محافظة على البنية وتحقق دقة عالية. وتُطبّق هذه المخططات على معادلات تفاضلية جزئية بعد التقطيع المكاني، حيث تؤكد التجارب العددية صحة الحدود النظرية وتُظهر سلوكًا موثوقًا به ضمن قيود على حجم الخطوة الزمنية. بوجه عام، توفّر هذه الرسالة إطارًا عمليًا ومدعومًا نظريًا لتصميم مخططات تكامل أُسّية محافظة على البنية، مناسبة لمحاكاة موثوقة للأنظمة الفيزيائية.

English Abstract

This thesis develops a comprehensive framework for designing high-order exponential integrator schemes that preserve key structural properties - positivity and contractivity - in the numerical integration of differential equations. The central task is formulated as the identification, among all polynomials of a given degree with prescribed successive derivatives at the origin up to a given order, the one with the largest interval of absolute monotonicity on the negative axis. The length of this maximal interval is referred to as the generalized optimal threshold factor, and the corresponding polynomial is termed the optimal threshold polynomial. To address this question, we introduce a new class of discrete measures whose associated orthogonal polynomials and their zeros offer a complete framework for analyzing optimal threshold factors and the corresponding polynomials. In particular, these measures allow for the derivation of sharp bounds on the optimal threshold factors using Gaussian quadrature. Furthermore, an efficient algorithm based on adaptive Christoffel spectral transform is developed to compute optimal threshold factors and their associated polynomials in the high-degree regime. Building on this foundation, we construct structure-preserving exponential integrator schemes with high-order of accuracy. These schemes are applied to semi-discretized partial differential equations, with numerical experiments confirming theoretical bounds and demonstrating reliable behavior under step-size constraints. Overall, this work delivers a practical and theoretically grounded framework for designing structure-preserving exponential integrators suitable for the robust simulation of physical systems.

Item Type:	Thesis (PhD)
Subjects:	Math
Department:	College of Computing and Mathematics > Computer Engineering
Committee Advisor:	Ait-Haddou, Prof. Rachid
Committee Members:	Tatar, Prof. Nasser Eddine and Shah, Dr. Abdullah and Al-Smail, Dr. Jamal and Sarumi, Dr. Ibrahim
Depositing User:	HUDA ALTAMIMI (g202006880)
Date Deposited:	22 May 2025 11:30
Last Modified:	22 May 2025 11:30
URI:	http://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/143424