Numerical Simulation of Classical and Fractional Epidemic Models. PhD thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.
![]() |
PDF
Narjes Alshakhoury_PhD Dissertaiton_eprints.pdf Restricted to Repository staff only until 27 December 2025. Download (6MB) |
Arabic Abstract
النماذج الوبائية هي أدوات تُستخدم لفهم الأمراض المعدية والتنبؤ بانتشارها. تتكون هذه النماذج من أنظمة من المعادلات التفاضلية غير الخطية. ومعظم النماذج الكسرية لا يمكن حلها تحليلياً؛ ولذلك، تُعد الطرق العددية الفعالة ضرورية لحل مثل هذه المشاكل. وفي الآونة الأخيرة، كان هناك اهتمام متزايد بابتكار مناهج عددية فعالة وموثوقة لحل النماذج الكسرية الزمانية و/أو المكانية. سنستخدم طرق رانج-كوتا من الدرجة الرابعة للمحاكاة العددية لبعض النماذج الوبائية الكلاسيكية. بالنسبة للنماذج الوبائية الكسرية، قمنا بتطوير فئة من الطرق العددية من نوع مصحح التنبؤ. وطبقنا هذه الطرق على نماذج الأوبئة الكسرية ذات المشتق الكسري الكابوتو والمشتق الكسري (ABC)أتانجانا-باليانو-كابوتو . بالنسبة للنماذج الوبائية الانتشارية، قمنا بتطوير مخطط التفاضل الزمني الأسي المستقر من الدرجة الثالثة باستخدام تقريب Pad\'e المقيد للدوال الأسية المصفوفية. نستخدم نهج فورييه الطيفي الذي ينتج عنه تمثيل قطري لدوال لابلاسيان الكسرية. نستخدم أيضًا تقنيات رياضية متطورة، وهي تحويلات الجيب وجيب التمام المتقطعة لتحسين الكفاءة الحسابية للطرق. تم ابتكار خوارزمية للتنفيذ المباشر للطريقة. يمكن تطبيق هذه الخوارزمية بسهولة على أنظمة الانتشار التفاعلي الجزئي الفضائي مع شروط حدود ديريشليت المتجانسة وكذلك شروط حدود نيومان المتجانسة. تم إثبات دقة الدرجة الثالثة من دقة الطريقة تحليليًا وتوضيحها عدديًا باستخدام مشكلة اختبار. يتم عرض تحليل الخطأ الخطي لهذه الطريقة، ويتم حساب مناطق استقرار الطريقة، ويتم رسم الرسوم البيانية الخاصة بها. من أجل المحاكاة العددية لنماذج الأوبئة الكسرية الزمانية والمكانية للوباء تم تطوير مخطط عددي مصحح تنبؤي عددي عالي الكفاءة الحسابية والدقة. يتم تقسيم اللابلاسيان الكسري باستخدام تقنية نقل المصفوفة استنادًا إلى طريقة فرق محدود مضغوط من الدرجة الرابعة. يستخدم مخطط التنبؤ-المصحح الزمني الذي تم تطويره طريقة أويلر الكسرية كمتنبئ وطريقة آدمز الكسرية كمصحح. نطبق استقراء ريتشاردسون المعروف لتعزيز دقة المخطط. بالاستفادة من تحويل فورييه المتقطع، تم تطوير خوارزمية فعالة حسابيًا للتنفيذ المباشر للمخطط لحل أنظمة التفاعل والانتشار الجزئي الزماني والمكاني. يتم توضيح ديناميكيات الحلول الناتجة عن تأثير الذاكرة و/أو الانتشار الشاذ من خلال التجارب العددية. ستسهم نتائج هذه الأطروحة في فهم ديناميكيات الأمراض الوبائية بشكل أفضل، وتوفر بعض الأدوات القيمة لعلماء الأوبئة وللعاملين في قطاعات الصحة العامة. وعلاوة على ذلك، تساهم هذه الدراسة في تطوير مجال علم الأوبئة الحسابي من خلال توفير طرق للتنبؤ بتفشي الأمراض وإدارتها بشكل أفضل.
English Abstract
Epidemic models are tools used to understand and predict the spread of infectious dis- eases. These models consist of systems of nonlinear differential equations. Most of the fractional models cannot be solved analytically; therefore, efficient numerical methods are crucial to solving such problems. Recently, there has been a growing interest in devising effective and reliable numerical approaches to solve time and/or space fractional models. We shall use fourth-order Runge-Kutta methods for numerical simulation of some classical epidemic models. For the fractional epidemic models, we have developed a class of predictor-corrector type numerical methods. We applied these methods to fractional epidemic models with Caputo fractional derivative and Atangana-Baleanu- Caputo (ABC) fractional derivative. For the diffusive epidemic models, we have developed a third-order L-stable exponential time differencing scheme using restricted Padé approximation of the matrix exponential functions. We employ a Fourier spectral approach which results in a diagonal represen- tation of the fractional Laplacian. We also use sophisticated mathematical techniques, namely, discrete sine and cosine transforms, to improve the computational efficiency of the methods. An algorithm is devised for straightforward implementation of the method. This algorithm can easily be implemented to space fractional reaction-diffusion systems with homogeneous Dirichlet as well as homogeneous Neumann boundary conditions. The third-order accuracy of the method is proved analytically and demonstrated nu- merically using a test problem. Linear error analysis of these method is presented, stability regions of the method are computed, and their graphs are plotted. For numerical simulation of the time-space fractional epidemic models, a computation- ally efficient and highly accurate predictor-corrector numerical scheme is developed. The fractional Laplacian is discretized using the matrix transfer technique based on a fourth-order compact finite difference method. The predictor-corrector time stepping scheme developed uses the fractional Euler method as a predictor and the fractional Adams method as a corrector. We apply the well-known Richardson extrapolation to further enhance the accuracy of the scheme. Utilizing the discrete Fourier transform, a computationally efficient algorithm is developed for straightforward implementation of the scheme to solve time-space fractional reaction-diffusion systems. The dynamics of the solutions due to the memory effect and/or anomalous diffusion is demonstrated through numerical experiments. The findings of this thesis shall contribute to better understanding the dynamics of epidemic diseases and provide some valuable tools for epidemiologists and for people in the public health sectors. Moreover, this study contributes to the development of the field of computational epidemiology by providing methods for better prediction and management of the disease outbreak.
Item Type: | Thesis (PhD) |
---|---|
Subjects: | Math |
Department: | College of Computing and Mathematics > Mathematics |
Committee Advisor: | Yousuf, Muhammad |
Committee Co-Advisor: | Furati, Khaled |
Committee Members: | Tatar, Nasser-eddine and Ahmad, Izhar and Khaliq, Abdul Qayyum |
Depositing User: | NARJES ALSHAKHOURY (g201906470) |
Date Deposited: | 31 Dec 2024 08:48 |
Last Modified: | 31 Dec 2024 08:48 |
URI: | http://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/143180 |