Time Stepping Schemes with Matrix Transform Technique for Space-Fractional Differential Equations. Masters thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

PDF MSc Thesis-Munirah-.pdf Restricted to Repository staff only until 10 June 2025. Download (9MB)

Arabic Abstract

تُستخدم المعادلات التفاضلية الكسرية المكانية غير الخطية المعتمدة على الزمن على نطاق واسع لمحاكاة الظواهر الفيزيائية المهمة في المجالات الهندسية والعلمية المتنوعة. ومع ذلك، فإن الحصول على الحلول الدقيقة لمعظم هذه الأنظمة يمثل تحديًا لأنها غالبًا ما يتم تمثيلها في شكل متسلسلة مثلثية. ولذلك، فإن تطوير الحلول العددية يصبح حاسما لمعالجة هذا التعقيد. في الآونة الأخيرة، كان هناك اهتمام متزايد في ابتكار أساليب عددية فعالة وموثوقة لحل هذه الأنظمة غير الخطية من المعادلات التفاضلية الكسرية. في هذه الأطروحة، قمنا بتطوير مخططات عددية عالية الكفاءة لحل مسائل تفاعل وانتشار التفاعل الكسري مع الشروط الحدودية المتجانسة لنيومان ودريشليت. في الجزء الأول من الأطروحة، قمنا بتطوير مخططات عددية تعتمد على تقنية تحويل المصفوفة من الدرجة الرابعة (MTT) للتمييز المكاني ومخططات من النوع الأسي لاختلاف الوقت (Runge-Kutta) من الدرجة الثالثة. تعتمد مخططات ETDRK على تقريب Pad'eالمقيد من الدرجة الثالثة وتقريب Pad'e (1,2) من الدرجة الثالثة. يتم استخدام أسلوب تقسيم الكسور الجزئية لإنشاء نسخة فعالة من الناحية الحسابية للمخططات. في الجزء الثاني من الأطروحة، قمنا بتطوير إطار قوي لتوصيف الظواهر المعقدة التي تنشأ في أنظمة انتشار التفاعل الجزئي في المكان. تم تطوير مخططات عددية عالية الكفاءة من خلال الجمع بين قوة نهج فورييه الطيفي في المكان ومخططات التمييز الزمني الأسي في الوقت. ينتج عن عدم محلية العوامل الكسرية مصفوفات كثيفة كاملة. تتمثل ميزة منهج فورييه الطيفي في الحصول على تمثيل قطري كامل للعامل الكسري ويمكننا توسيع المخططات لتشمل تمثيلات متعددة الأبعاد بنفس التعقيد مثل التمثيلات أحادية البعد. علاوة على ذلك، فإن المخططات المقترحة تظهر الاستقرار والتقارب من الدرجة الثالثة والكفاءة العالية بسبب طبيعتها المتنبئة والمصححة. يتم تعزيز كفاءة المخططات بشكل أكبر من خلال تطبيق أدوات رياضية قوية، وهي تحويلات الجيب وجيب التمام المنفصلة. تم تطوير الخوارزميات لتنفيذ الأساليب بسهولة على أنظمة أحادية ومتعددة الأبعاد مع شروط حدود ديريشليت المتجانسة وكذلك شروط حدود نيومان المتجانسة. يتم إثبات الكفاءة الحسابية والموثوقية والفعالية للطرق المقدمة من خلال التجارب العددية. يتم حساب نتائج التقارب لدعم النتائج النظرية.

English Abstract

Non-linear time-dependent space-fractional differential equations are widely employed to simulate significant physical phenomena in diverse engineering and scientific fields. However, obtaining the exact solution for most of these systems is challenging because they are often represented in trigonometric series form. Therefore, the development of numerical solutions becomes crucial to addressing this complexity. Recently, there has been a growing interest in devising effective and reliable numerical approaches to solve these non-linear systems of fractional differential equations. In this thesis, we have developed highly efficient high-order numerical schemes to solve space-fractional reaction-diffusion problems with homogeneous Neumann and Dirichlet boundary conditions. In the first part of the thesis, we developed numerical schemes that are based on the fourth-order Matrix Transform Technique (MTT) for spatial discretization and third-order Exponential Time Differencing Runge-Kutta (ETDRK) type schemes. The ETDRK schemes are based on a single pole third order restricted Pad\'e approximation and a third-order Pad'e (1,2) approximation. The partial fraction splitting approach is used to construct a computationally efficient version of the schemes. In the second part of the thesis, we have developed a robust framework for characterizing complex phenomena arising in space fractional reaction-diffusion systems. Highly efficient numerical schemes are developed by combining the power of the Fourier spectral approach in space and exponential time differencing schemes in time. The non-locality of the fractional operators results in full dense matrices. The advantage of the Fourier spectral approach is that a full diagonal representation of the fractional operator is obtained and we can extend the schemes to multi-dimensional problems with the same complexity as one-dimensional problems. Moreover, the proposed schemes exhibit stability, third-order convergence, and high efficiency due to their predictor–corrector nature. The efficiency of the schemes is further enhanced by applying powerful mathematical tools, namely, discrete sine and cosine transforms. Algorithms are developed to easily implement the methods on one and multidimensional systems with homogeneous Dirichlet as well as homogeneous Neumann boundary conditions. The computational efficiency, reliability and effectiveness of the presented methods are demonstrated through numerical experiments. Convergence results are computed to support the theoretical findings.

Item Type:	Thesis (Masters)
Subjects:	Math
Department:	College of Computing and Mathematics > Mathematics
Committee Advisor:	Yousuf, Muhammad
Committee Members:	Sarwar, Shahzad and Akram, Tayyaba
Depositing User:	MUNIRAH ALSHAYQI (g202212280)
Date Deposited:	10 Jun 2024 09:59
Last Modified:	10 Jun 2024 09:59
URI:	http://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/142967