Generalized Exponential Time Differencing Methods for Fractional Reaction-Diffusion Models

Generalized Exponential Time Differencing Methods for Fractional Reaction-Diffusion Models. PhD thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

[img] PDF
Sarumi Ibrahim Olatunji PhD Thesis-FInal.pdf
Restricted to Repository staff only until 12 July 2022.

Download (3MB)

Arabic Abstract

يلاحظ السلوك الشاذ في العديد من العمليات الفيزيائية التي غالبا ما تعيق النجاح استخدام نماذج الترتيب الصحيح لنمذجة مثل هذه الظواهر. من ناحية أخرى ، الترتيب الكسري تم استخدام النماذج بشكل فعال لوصف ومحاكاة هذه السلوكيات غير العادية في العديد الأنظمة الفيزيائية. تمثل هذه النماذج التفاعلات طويلة المدى (كسور في الفضاء) و تأثيرات التاريخ (كسور في الوقت) وهي خصائص جوهرية للمواد غير المثالية عرض الظواهر الشاذة. بشكل عام ، الحلول التحليلية للنماذج الجزئية إما غير متوفرة أو مملة للحصول عليها. لذلك ، فإن المعالجة العددية الفعالة لمثل هذه النماذج مطلوبة باستمرار. بالتالي، تم تطوير مجموعة متنوعة من الأساليب العددية لهذه النماذج. في هذه الرسالة ، نقوم بتطوير دقة عالية من الدرجة الأولى والثانية والثالثة (في المتغير الزمني) مخططات الفروق الزمنية الأسية المعممة (\LR{GETD}) للانتشار الجزئي للمكان والزمان مشاكل انتشار التفاعل الجزئي. التكليف المكاني غالبًا ما ينتج عن مشاكل الانتشار والتفاعل-الانتشار أنظمة قاسية من المعادلات التفاضلية. نبرهن على أن مخططات الوقت التي تم تطويرها في \LR{GETD} والتي تم تطويرها في هذه الأطروحة لها خصائص ثبات أنيقة للتعامل مع المشاكل الشديدة دون مشاكل عدم الاستقرار. لتحديد نتائج التقارب ، بالنسبة لمشكلة الانتشار الجزئي للفضاء الزماني (المشكلة الخطية) ، متطلبات الانتظام في الزمن متغير يتم فرضه على المصطلح المصدر بدلاً من الحل. بالنسبة لمصطلحات المصدر غير الملساء ، فإننا نستخدم المتدرج لتحقيق المستوى الأمثل نتائج التقارب. ومع ذلك ، بالنسبة لشروط المصدر السلسة ، يكفي النظر في أي وقت شبكة. من ناحية أخرى ، للتفاعل الكسري الزماني معادلة الانتشار (مشكلة غير خطية) ، من المعروف أن انتظام الحل يؤثر على انتظام مصطلح المصدر. وبالتالي ، فإننا نفرض شروط انتظام على كل من المصطلح المصدر والحل. لإثبات نتائج التقارب ، نقوم بتوظيفها مرة أخرى الشبكة المتدرجة للتعويض عن ضعف التفرد للحل الدقيق. من أجل التنفيذ الفعال للمخططات ، دقة عالية لتقريب الوسادة العالمية جنبًا إلى جنب مع تم تطوير تحللها الجزئي من أجل وظائف \LR{Mittag-Leffler}. مظاهرات كفاءة التقريب العقلاني لتقنية التنفيذ والحديثة يتم توفير مخططات عالية الجودة. النتائج النظرية تؤيد نتائج تجاربنا العددية.

English Abstract

Anomalous behavior is observed in many physical processes which often hinders the successful use of integer order models for modeling such phenomena. On the other hand, fractional order models have been effectively used to describe and simulate these unusual behaviors in many physical systems. These models account for long-range interactions (fractional in space) and history effects (fractional in time) which are intrinsic characteristics of non-ideal materials exhibiting anomalous phenomena. In general, analytical solutions for fractional models are either unavailable or tedious to obtain. Therefore, efficient numerical treatment of such models is in continuous demand. Consequently, variety of numerical methods have been developed for these models. In this dissertation, we develop robust first, second, and third-order accurate (in the temporal variable) generalized exponential time differencing schemes (GETD) for time-space fractional diffusion and time-space fractional reaction-diffusion problems. Spatial-discretization of diffusion and reaction-diffusion problems often result in stiff systems of differential equations. We demonstrate that the GETD time-stepping schemes developed in this thesis have elegant stability properties to handle stiff problems without instability issues. To establish the convergence results, for the time-space fractional diffusion problem (linear problem), regularity requirements in the temporal variable are imposed on the source term rather than the solution. For the nonsmooth source terms, we employ the graded to achieve optimal convergence results. However, for the smooth source terms, it suffices to consider anytime mesh. On the other hand, for the time-space fractional reaction diffusion equation (nonlinear problem), it is known that the reularity of the solution affects the regularity of the source term. Consequently, we impose regularity conditions on both the source term and solution. To prove the convergence results, we again employ the graded mesh in order to compensate for the weak singularity of the exact solution. For efficient implementation of the schemes, highly accurate global Pad\'e approximations together with their partial fraction decomposition are developed for Mittag-Leffler functions. Demonstrations of the efficiency of the rational approximation implementation technique and the newly constructed high-order schemes are provided. The theoretical results endorse the findings of our numerical experiments.

Item Type: Thesis (PhD)
Subjects: Math
Department: College of Computing and Mathematics > Mathematics
Committee Advisor: Furati, Khaled M.
Committee Members: Mustapha, Kassem and Tatar, Nasser-eddine and Yousuf, Mohammad
Depositing User: IBRAHIM OL SARUMI (g201304910)
Date Deposited: 29 Jul 2021 09:05
Last Modified: 29 Jul 2021 09:05
URI: https://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/141925