t-Reductions of Ideals in Integral Domains. PhD thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

Preview

PDF Dissertation.pdf Download (2MB) | Preview

Arabic Abstract

نقوم في هذه الرسالة بدراسة الاختزال-t للمثاليات في الحلقات الصحيحة والذي يعد تعميما لمفهم الاختزال. درسنا في الوحدة الأولى الخصائص الأساسية لهذا المفهوم، وأوضحنا بعض الأمثلة المميزة له عن مفهوم الاختزال. قمنا أيضا بتعريف الإغلاق-t للمثاليات، ودرسنا العلاقة بينه وبين الاختزال-t وخاصية تمديد وقصر هذا المفهوم من خلال التشاكل (الهمومورفزم) بين حلقتين صحيحتين. ترسخ النتائج التي حصلنا عليها نظائر-t لنتائج معروفة جيدا عن الاختزال والإغلاق. نقوم عن مثالي أنه أساسي-t إذا لم يقبل أي اختزال-t سوى نفسه. نقول عن حلقة أنها تمتلك الخاصية الأساسية-t (المنتهية) إذا كان كل مثالي (منته) هو مثالي أساسي-t. نقوم في الوحدة الثانية بدراسة هذه الخاصية للحلقات ونعطي شروطا لازمة وكافية لانتقال هذه الخاصية من خلال بنى الانسحاب. في هذه الوحدة نتوصل لحل أحد المسائل المفتوحة عن العلاقة بين الخاصية الأساسية-t المنتهية والخاصية الأساسية-v المنتهية. احتوت الرسالة على العديد من التطبيقات، كما دعمت النتائج بالعديد من الأمثلة.

English Abstract

This Ph.D. thesis traverses two chapters which contribute to the study of multiplicative ideal theoretic properties of integral domains. Let $R$ be an integral domain and $I$ a nonzero ideal of $R$. An ideal $J\subseteq I$ is a $t$-reduction of $I$ if $(JI^{n})_{t}=(I^{n+1})_{t}$ for some integer $n\geq0$. An element $x\in R$ is $t$-integral over $I$ if there is an equation $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0$ with $a_{i}\in (I^{i})_{t}$ for $i=1,...,n$. The set of all elements that are $t$-integral over $I$ is called the $t$-integral closure of $I$. The first chapter investigates the $t$-reductions and $t$-integral closure of ideals. Our objective is to establish satisfactory $t$-analogues of well-known results, in the literature, on the integral closure of ideals and its correlation with reductions. Namely, Section 1.2 identifies basic properties of $t$-reductions of ideals and features explicit examples discriminating between the notions of reduction and $t$-reduction. Section 1.3 investigates the concept of $t$-integral closure of ideals, including its correlation with $t$-reductions. Section 1.4 studies the persistence and contraction of $t$-integral closure of ideals under ring homomorphisms. All along the chapter, the main results are illustrated with original examples. An ideal $I$ is $t$-basic if it has no $t$-reduction other than the trivial ones. The second chapter investigates $t$-reductions of ideals in pullback constructions. Section 2.2 examines the correlation between the notions of reduction and $t$-reduction in pseudo-valuation domains. Section 2.3 solves an open problem on whether the finite $t$-basic and $v$-basic ideal properties are distinct. We prove that these two notions coincide in any arbitrary domain. Section 2.4 features the main result, which establishes the transfer of the finite $t$-basic ideal property to pullbacks in line with Fontana-Gabelli's result on Pr\"ufer $v$-Multiplication Domains (P$v$MDs) and Gabelli-Houston's result on $v$-domains. This allows us to enrich the literature with new families of examples, which put the class of domains subject to the finite $t$-basic ideal property strictly between the two classes of $v$-domains and integrally closed domains.

Item Type:	Thesis (PhD)
Subjects:	Math
Department:	College of Computing and Mathematics > Mathematics
Committee Advisor:	Kabbaj, Salah-Eddine
Committee Co-Advisor:	Mimouni, Abdeslam
Committee Members:	Abuihlail, Jawad and Echi, Othman and Houston, Evan
Depositing User:	KADRI ABDULLAH (g201004080)
Date Deposited:	28 Jul 2016 12:31
Last Modified:	01 Nov 2019 16:35
URI:	http://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/140064