Polynomial Solutions of Differential Equations

Polynomial Solutions of Differential Equations. Masters thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.


Download (1MB) | Preview

Arabic Abstract

في هذه الرسالة نعرض طريقة جديدة معتمدة على مبادئ الجبر الخطي لدراسة كثيرات الحدود كحلول لمعادلات تفاضلية من الشكل L(y)= ∑_(k=0)^N▒〖a_k (x) y^((k)) 〗 حيث a_k (x)هي كثيرة حدود. وسنثبت عندما تكون درجة 〖k≥a〗_k (x)فإن أي مؤثر خطي على شكل L(y) ويؤثر على فضاء متجه من كثيرات الحدود على حقل غير منته F لها قيم ذاتية كلها تنتمي إلى الحقل.F إذا كانت هذه القيم الذاتية مختلفة فحينئذ توجد كثيرة حدود واحدية ووحيدة من الدرجة nكدالة ذاتية للمؤثر الخطي L(y). وكذلك سنناقش تعامد هذه الحلول. ونتناول المؤثرات الخطية التي تكون درجة كثيرة الحدود a_k (x) عشوائية. وسنعرض اللوغاريتمية باستخدام Mapleلإيجاد الشروط الضرورية لوجود كثيرات الحدود مع حسابها. وسنطبق هذه اللوغاريتمية على عدة معادلات تفاضلية المتعلقة بتطبيقات فيزيائية حديثة.

English Abstract

Polynomial solutions of linear differential equations have been investigated by many authors. In this thesis, we study a new approach based on elementary linear algebra for investigating polynomial solutions of differential equations $L(y)= \sum\limits_{k=0}^N a_{k}(x)y^{(k)}=0$ with polynomial coefficients. Any differential operator of the form $L(y)= \sum\limits_{k=0}^N a_{k}(x)y^{(k)}$, where $a_{k}$ is a polynomial of degree $\leq k$, on the space of polynomials over an infinite field $F$, has all eigenvalues in $F$. If these eigenvalues are distinct, then there is a unique monic polynomial of degree $n$ which is an eigenfunction of the operator $L$. We also carry out a study of orthogonality of such eigenfunctions. Further for the general case of operators $L(y)= \sum\limits_{k=0}^N a_{k}(x)y^{(k)}$ where degree of the polynomials $a_{k}$ is arbitrary, an algorithmic procedure is presented for determining the existence of polynomial solutions as well as for constructing these solutions. An implementation of the algorithmic procedure is carried out through Maple codes which are applied to obtain polynomial solutions of different types of differential equations of current interest in Physics.

Item Type: Thesis (Masters)
Subjects: Math
Department: College of Computing and Mathematics > Mathematics
Committee Advisor: Laradji, A.
Committee Members: Azad, H. and Zaman, F.D. and Al-Dweik, A. Y.
Depositing User: AL-KHULAIF AHMED (g201004360)
Date Deposited: 27 May 2013 12:12
Last Modified: 31 Dec 2020 07:48
URI: https://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/138906