Bazzoni-Glaz Conjecture on the Weak Global Dimension of Gaussian Rings. Masters thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

Preview

PDF Thesis.pdf Download (573kB) | Preview

Arabic Abstract

في عام 1969 أثبتت أوسفسكي أن البعد الشامل الضعيف للحلقة الحسابية المحلية (أي الحلقة المسلسلة) التي تحتوي على قواسم للصفر لانهائي [28]. في ضوء [19، نتيجة 4.2.6]، تؤكد هذه المبرهنة أن البعد الشامل الضعيف للحلقة الحسابية 0، أو 1، أو لانهائي. في عام 2007 درست بازوني و جلاس النواحي الهومولوجية للحلقات شبه-البروفرية مع التركيز على الحلقات الجاوسية، وأثبتتا أن مبرهنة أوسفسكي سالفة الذكر تتحقق في سياق الحلقات الجاوسية المتساوقة (البروفرية المتساوقة) في [20، مبرهنة 3.3] ([5، مبرهنة 6.1])، و ختمتا الورقة البحثية [5] بالحدس التالي: "البعد الشامل الضعيف للحلقة الجاوسيه 0، أو 1، أو لانهائي". للتسهيل، تذكَّر أن صف الحلقات الجاوسية يحوي صف الحلقات الحسابية و لا يساويه. ما زال هذا الحدس مفتوحا منذ 2007، وقد ظهرت العديد من الأوراق البحثية التي تضم نتائج جزئية لبعضها أهمية ذات صلة. تهدف أطروحة الماجستير هذه إلى تعقب ودراسة جميع الأعمال التي تتعلق بهذا الحدس منذ البداية، أي منذ إثبات أوسفسكي في عام 1969 وجود حلقي ذي بعد إسقاطي لانهائي على حلقة حسابية محلية. على وجه التحديد، سنفحص جميع النتائج الرئيسة التي تم نشرها في [1، 3، 5، 12، 20، 28] والتي اختبرت تحقق الحدس في صفوف جزئية من صف الحلقات الجاوسية أو قدمت عائلات كبيرة من الحلقات الإبدالية (المنبثقة من بناءات خاصة) تحقق الحدس. سنختبر أيضا مساهمة كوشوت الحديثة جداً للمسألة من خلال البعد المحدودي الضعيف. هدفنا النهائي هو تحديد طرق وتقنيات جديدة لمعالجة هذه المسائل من زوايا مختلفة قد تقدم "نهاية سعيدة" ممكنة لهذا الحدس و المسائل ذات الصلة في المستقبل.

English Abstract

In 1969, Osofsky proved that a local arithmetical ring (i.e., chained ring) with zero divisors has infinite weak global dimension [28]. In view of [19, Corollary 4.2.6], this result asserts that the weak global dimension of an arithmetical ring is 0, 1, or ¥. In 2007, Bazzoni and Glaz studied the homological aspects of Pr¨ufer-like rings, with a focus on Gaussian rings. They proved that Osofsky’s aforementioned result is valid in the context of coherent Gaussian rings (resp., coherent Pr¨ufer rings) [20, Theorem 3.3] (resp., [5, Theorem 6.1]). They closed their paper with a conjecture sustaining that “the weak global dimension of a Gaussian ring is 0, 1, or ¥” [5]. Recall for convenience that the class of Gaussian rings contains strictly the class of arithmetical rings. Since 2007, the Bazzoni-Glaz Conjecture is still elusively open and several papers have appeared in the literature featuring partial results, of which some are of relevant significance. This MS thesis plans to track and study all these works dealing with this conjecture from the very origin; that is, 1969 Osofsky’s proof of the existence of a module with infinite projective dimension on a local arithmetical ring. Precisely, we will examine all main results published in [1, 3, 5, 12, 20, 28] which tested the validity of the conjecture in subclasses within the class of Gaussian rings or provided large families of commutative rings (emanating from special constructions) sustaining the conjecture. We will also examine Couchot’s very recent contribution to the problem via the finitistic weak dimension. Our ultimate goal is to identify new methods and techniques to tackle these problems from different angles which might offer a possible “happy end” to this conjecture and related problems in the future. vi Keywords: Pr¨ufer domain; arithmetical ring; chained ring; fqp-ring; Gaussian ring; Pr¨ufer ring; semihereditary ring; IF-ring; semicoherent ring; quasi-projective module; FP-injective module; flat dimension; projective dimension; global dimension; weak global dimension; finitistic projective dimension; finitistic weak dimension; trivial ring extension. Math Subject Classification: 13F05; 13B05; 13C13; 16D40; 16B50; 16D90.

Item Type:	Thesis (Masters)
Subjects:	Math
Department:	College of Computing and Mathematics > Mathematics
Committee Advisor:	Kabbaj, Salah-Eddine
Committee Members:	Mimouni, Abdeslam and Abuhlail, Jawad
Depositing User:	khalid Adarbeh (g200902090)
Date Deposited:	22 Jun 2011 10:37
Last Modified:	01 Nov 2019 15:29
URI:	http://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/138478