Modeling Lorenz System by Delay Differential Equations (DDEs). Masters thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

PDF MaissaGrara202390850.pdf Restricted to Repository staff only until 16 June 2027. Download (2MB)

Arabic Abstract

يُعدّ نمذجة الأنظمة الديناميكية غير الخطية تحديًا نظرًا لغنى وتعقيد سلوكها، والذي يشمل الفوضى والتشعبات والحساسية الشديدة للظروف الابتدائية. كما تزداد صعوبة تحليل هذه الأنظمة باستخدام الأدوات التحليلية الكلاسيكية، خاصةً في الحالات التي تكون فيها المعادلات الحاكمة غير معروفة. في السنوات الأخيرة، أظهرت المقاربات المعتمدة على البيانات قدرة واعدة على نمذجة الأنظمة غير الخطية. وتعتمد العديد من هذه الأساليب على تمثيلات خطية نظرًا لبساطتها وقابليتها للتفسير وارتكازها على أساس نظري راسخ. ومع ذلك، تظل هذه المقاربات محدودة، إذ إن الديناميكيات غير الخطية يمكن وصفها ضمن أطر ذات أبعاد لانهائية، وهو ما لا يمكن تمثيله بشكل كامل بواسطة نماذج محدودة الأبعاد. لمعالجة هذا القيد، يقترح هذا العمل إطارًا لتحديد نماذج خطية مستمرة الزمن قائمة على المعادلات التفاضلية ذات التأخير، حيث يتم التعامل مع قيم التأخير كمعاملات غير معروفة ويتم تعلمها مباشرةً من البيانات إلى جانب معاملات النظام. ويوفر هذا الإطار تمثيلًا منظمًا وقابلًا للتفسير، يتيح التقاط الديناميكيات غير الخطية عبر مؤثر خطي يعتمد على الحالات المؤجلة. وقد تم تطبيق هذا النهج على نظام لورنز باعتباره مثالًا مرجعيًا كلاسيكيًا للأنظمة الفوضوية. تُظهر النتائج أن نموذجًا محدود الأبعاد مُختارًا بشكل أمثل وقائمًا على بنية DDE قادر على التقاط الديناميكيات المرصودة المهيمنة لنظام لورنز، كما يحقق دقة عالية في إعادة بناء المشتقات والتنبؤ قصير المدى بالمسارات. وبشكل عام، يبيّن الإطار المقترح أن النماذج الخطية المعتمدة على التأخير توفر وسيلة فعّالة وقابلة للتفسير لتقريب الأنظمة الديناميكية غير الخطية والتعبير عن سلوكها الديناميكي المهيمن.

English Abstract

Modeling nonlinear dynamical systems is challenging due to their rich and complex dynamics, including chaos, bifurcations, and sensitivity to initial conditions. These systems remain difficult to analyze using classical analytical tools, and this challenge becomes more significant when the governing equations are unknown. In recent years, data-driven approaches have shown strong potential for modeling nonlinear dynamical systems. Many of these methods approximate the underlying dynamics using linear representations, motivated by their simplicity, interpretability, and well-established theory. However, this approximation is inherently limited, as nonlinear dynamics are governed by infinite-dimensional structures that cannot be fully captured by finite-dimensional models. To address this limitation, this work develops a framework for identifying continuous-time linear delay differential equation (DDE) models, in which delay values are treated as unknown parameters and learned directly from data along with system coefficients. This approach provides a structured and interpretable representation, capturing nonlinear dynamics through a linear operator acting on delayed states. The framework is applied to the Lorenz system, a canonical example of chaotic dynamics. The results show that an optimally chosen finite-dimensional DDE model captures the dominant observable dynamics of the Lorenz system and yields accurate reconstruction and short-term prediction. Overall, the proposed framework shows that delay-based linear models provide an effective and interpretable approach for approximating nonlinear dynamical systems and capturing their dominant observable dynamics.

Item Type:	Thesis (Masters)
Subjects:	Systems Math Electrical
Department:	College of Engineering and Physics > Electrical Engineering
Thesis Advisor:	Fahhad Al Harbi,
Thesis Committee Members:	Khaled Furati, Ali Al-beladi,
Depositing User:	MAISSA GRARA
Date Deposited:	18 Jun 2026 06:59
Last Modified:	18 Jun 2026 06:59
URI:	https://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/144593