Numerical Approximation of Fractional Elliptic Operators: Methods and Applications to Free-Form Deformation. PhD thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

PDF (PhD dissertation) PhD_SaraAlkiswani_May2026.pdf - Other Restricted to Repository staff only until 6 May 2027. Download (81MB)

Arabic Abstract

توفر المؤثرات الإهليلجية الكسرية إطارًا لامحليًا لنمذجة الانتظام، والتفاعلات بعيدة المدى، والتأثيرات المعتمدة على المقياس. إلا أن استخدامها العملي يتطلب تقريبات عددية دقيقة وفعالة. تتناول هذه الأطروحة دراسة طرائق عددية للمؤثرات الإهليلجية الكسرية على مجالات محدودة. وتعتمد هذه الطرائق على تقنيات نقل المصفوفات، التي تقرب المؤثرات الكسرية من خلال القوى الكسرية لمصفوفات إهليلجية متقطعة. تم تطوير وتحليل عدة استراتيجيات للتقريب بالدوال النسبية، تشمل تربيع سينك المختزل، وقواعد هان المضغوطة، وتقريب جاكوبي المنزاح. وانطلاقًا من هذا الإطار، نقدم عائلة جديدة من الإحداثيات المعممة للاستيفاء في التشكيل حر الشكل. وتعتمد هذه الإحداثيات بصورة متصلة على الرتبة الكسرية. كما توفر امتدادًا مرنًا للطرائق الكلاسيكية القائمة على الإحداثيات من خلال تأثير لامحلي قابل للضبط. وتُطبَّق الإحداثيات المقترحة على التشكيل المعتمد على القفص. ثم يُوسَّع الإطار ليشمل صياغة متباينة الخواص تراعي الحواف، بما يساعد على الحفاظ بصورة أفضل على السمات الهندسية أثناء التشكيل.

English Abstract

Fractional elliptic operators provide a nonlocal framework for modeling smoothness, long-range interactions, and scale-dependent effects. Their practical use, however, requires accurate and efficient numerical approximation. This dissertation studies numerical methods for fractional elliptic operators on bounded domains. The approach is based on matrix transfer techniques, which approximate fractional operators through fractional powers of discretized elliptic matrices. Several rational approximation strategies are developed and analyzed, including reduced sinc quadrature, compressed Hahn-type rules, and deflated Jacobi approximation. Building on this framework, we introduce a new family of generalized coordinates for interpolation in free-form deformation. These coordinates are parameterized continuously by the fractional order and provide a flexible extension of classical coordinate-based methods through a tunable nonlocal effect. The proposed coordinates are applied to cage-based deformation. The framework is then further extended to an edge-aware anisotropic formulation that better preserves geometric features during deformation.