Skula Spaces, Clopen Spaces and Quasi-homeomorphisms. Masters thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

PDF YOSUEF ODEH, MS THESIS, FINAL REPORT.pdf Restricted to Repository staff only until 17 May 2027. Download (2MB)

Arabic Abstract

تقدّم هذه الرسالة دراسةً موحّدةً لفضاءات سكولا، والفضاءات المفتوحة والمغلقة معًا، وشبه المتماثلات في التوبولوجيا العامة، مع التركيز على تفاعلاتها البنيوية والتصنيفية. فلكل فضاء توبولوجي X، تُولَّد توبولوجيا سكولا b(X) بواسطة المجموعات المغلقة محليًا في X. ​ وتبحث الرسالة في كيفية ارتباط هذا الإنشاء بمسلّمات الفصل، وانعكاس كومولوغروف, والتراص، وخاصية نوذيرية الفضاء، وامتداد ألكسندروف ذي النقطة الواحدة. ويتمثّل الهدف الأول في توضيح الخواص الأساسية لتوبولوجيا سكولا، حيث يُثبت أن b(X) يكون دائمًا فضاءً صفريَّ البعد، وأن مسلّمات الفصل الثلاث الاولى تصبح متكافئة داخل الإطار السكولي. كما تُثبت الرسالة أن مؤثّر سكولا يتبادل مع خارج كولموغوروف. وأن تكرار إنشاء سكولا يستقر بعد خطوتين على الأكثر. ويُخصَّص جزءٌ محوريٌّ من العمل لدراسة الفضاءات المفتوحة والمغلقة معًا، حيث يُثبت أن الفضاء يكون من هذا النوع إذا وفقط إذا كان فضاء ألكسندروف تناظريًا، وبصورة مكافئة إذا وفقط إذا كان خارج كولموغوروف له متقطعًا. وينتج عن ذلك تصنيف التوبولوجيات المفتوحة والمغلقة معًا بدلالة التقسيمات. علاوةً على ذلك، يُثبت أن .X داخل فئة الفضاءات المفتوحة والمغلقة معًا، يحقق الانعكاس المرافق للفضاء b2(X) ممّا يبيّن أن هذه الفئة فئةٌ مرافقة تقابليًا في فئة الفضاءات التبولوجية. تُعطى توصيفاتٌ للحالات التي يكون فيها فضاء سكولا نوذيريًا أو متراصًا، وتُدعَّم النتائج النظرية بأمثلة منتهية حاسوبيًا باستخدام بايثون. ​

English Abstract

This thesis develops a unified study of Skula spaces, clopen spaces, and quasi homeomorphisms in general topology, with emphasis on their categorical and structural interactions. For a topological space X, the Skula topology b(X) is generated by the locally closed subsets of X. The thesis investigates how this construction relates to separation axioms, the T0-reflection, compactness, Noetherianity, and the Alexandroff one-point extension. A first objective is to clarify the basic properties of the Skula topology. It is shown that b(X) is always zero-dimensional, and that within the Skula setting the separation axioms T0, T1, and T2 become equivalent. The thesis also proves that the Skula functor commutes with the Kolmogorov quotient, namely T0(b(X)) isomorphic to b(T0(X)), and that the iterated Skula construction stabilizes after at most two steps, so that bn(X) isomorphic to b2(X) for all n ≥ 2. A central part of the work is devoted to clopen spaces. It is proved that a space is clopen if and only if it is a symmetric Alexandroff space, equivalently if and only if its Kolmogorov quotient is discrete. This yields a classification of clopen topologies in terms of partitions. Moreover, b2(X) is shown to realize the clopen coreflection of X, establishing that the category of clopen spaces is coreflective in Top. Additional results characterize when b(X) is Noetherian or compact, and finite examples are illustrated computationally using Python.

Item Type:	Thesis (Masters)
Subjects:	Math
Department:	College of Computing and Mathematics > Mathematics
Thesis Advisor:	Othman Echi,
Thesis Committee Members:	Jawad Abuihlail, Adel Khalfallah,
Depositing User:	YOUSEF ODEH (g202416340)
Date Deposited:	20 May 2026 12:01
Last Modified:	20 May 2026 12:01
URI:	https://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/144323