Structure-Preserving Linearly Implicit Schemes for Dissipative and Conservative Systems. PhD thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

PDF Safiya’s PhD Dissertation .pdf - Accepted Version Restricted to Repository staff only until 24 December 2026. Available under License Creative Commons Attribution Non-commercial No Derivatives. Download (4MB)

Arabic Abstract

تُعنى هذه الأطروحة بتطوير إطارٍ رياضي ٍّ عام لبناء مخططات عددية محافظة للبنية في النظم التناقصية والثابتة والمعادلات التفاضلية الجزئية التغايرية، وذلك بهدف تحقيق التوازن بين الدقّة الحسابية والمحافظة على الخصائص الجوهرية للنظام المستمر. انطلقت الدراسة من تحليل البنية الرياضية للنظم التدرّجية ذات دوال الطاقة الرباعية، وتوس َّ عت نحو إنشاء مخططات خطية ضمنية تُحقّق خاصية تبدد الطاقة مع خفض الكلفة الحسابية مقارنة بالأساليب اللاخطية التقليدية. في الفصول الأولى، تمَّ توظيف مفهوم التزهير لدراسة البنى متعددة الحدود وتحليل خصائصها التركيبية، واستُخدم هذا المفهوم في بناء مخططات عددية أحادية ومتعددة الأبعاد تُحافظ على خاصية التناقص غير المتصل للطاقة. كما تناولت الأطروحة دراسة شروط التماسك الرياضي والاستقرار، وإثبات خاصية التناقص للطاقة في النظم التناقصية. وقد تطرق الفصل اللاحق لدراسة النظم الثابتة، وتناول تحليل قابلية التكامل وثوابت الحركة، إلى جانب استعراض خرائط ماكميلان. كما تمَّ تصميم مخططات عددية ثنائية الخطوة خطية ضمنيًا تحافظ على الطاقة والبنية الهندسية للنظام. كما ركّز الفصل الأخير على تطبيق الا ٕ طار المقترح على المعادلات التناقصية التغايرية، وبوجه خاص معادلة كان–هيليارد، حيث جرى تعريف الفضاء الوظيفي h وبناء المخططات الخطية الضمنية الخاصة بها، مع تحليل خصائص الاتزان والاستقرار العددي. تُظهر النتائج المتحص َّ ل عليها كفاءة الا ٕ طار المطوّر في تحقيق الحفاظ على البنية الرياضية للنظام مع ضمان الاستقرار وعددٍ أقل من العملياتالحسابية، مما يجعله أداةً فعّالة ومرنة لتقريب الحلول في النظم التناقصية والثابتة على حدٍّ سواء.

English Abstract

This dissertation develops a unified framework for constructing structure-preserving linearly implicit numerical schemes for differential equations. The aim is to design methods that retain the energy dissipation or conservation of the continuous system while reducing computational cost. The work begins with an algebraic foundation based on polar forms and the real Waring rank, which provide a powerful tool for polynomial relaxation and for ana- lyzing coercivity of potentials and studying the fixed points of the discrete systems. Building on this, linearly implicit discrete gradient schemes are developed for one- and higher-dimensional gradient systems, ensuring monotone energy decay and stability without solving nonlinear systems. The analysis covers fixed points, stability and regularization term, with detailed applications. The framework is then extended to conservative systems, where the schemes pre- serve integrals of motion and exhibit discrete MacMillan maps, capturing the geometry of integrable Hamiltonian dynamics through two-step linearly implicit schemes. Finally, the theory is generalized to variational partial differential equations, fo- cusing on the generlized Cahn–Hilliard equation. By defining the appropriate Hilbert space setting and constructing a linearly implicit variational integrator, the scheme achieves energy decay, mass conservation, and stable long-time behavior. Overall, the dissertation offers a systematic approach to efficient structure- preserving integration across dissipative and conservative systems.

Item Type:	Thesis (PhD)
Subjects:	Math
Department:	College of Computing and Mathematics > Computer Engineering College of Computing and Mathematics > Mathematics
Committee Advisor:	Ait-haddou, Rachid
Committee Members:	Furati, Khaled and Yousuf, Mohammad and Bonfoh, Ahmed and Shah, Abdullah
Depositing User:	SAFIYA ALSHEHAIWEEN (g202006420)
Date Deposited:	25 Dec 2025 08:23
Last Modified:	25 Dec 2025 08:23
URI:	http://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/143869