Generalization of Some Inequalities and Applications to Fractional Differential Problems.

Generalization of Some Inequalities and Applications to Fractional Differential Problems. Masters thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

[img] PDF
06062022_Manal_Barjas_Alshammari_Thesis.pdf
Restricted to Repository staff only until 6 June 2023.

Download (2MB)

Arabic Abstract

الهدف من هذه الرسالة هو تعميم بعض المتراجحات المستخدمة لتحقيق المعادلات التفاضلية العادية وكذلك بعض المعادلات التفاضلية الكسرية. المتراجحة الأساسية هي متراجحة جرونوال ونسخاتها وتعميماتها مثل متراجحات جرونوال-بيلمان، جرونوال-باتشبات، جرونوال-جاميدوف، هنري-جرونوال وجرونوال-لايك. هذه المتراجات فعالة للغاية في إثبات وحدانية الحلول وحدودها واستقرارها. لقد تم تعميمها وإدارتها في عدة اتجاهات أحد الاتجاهات هو النظر في النواة المنفردة. وهذا سيسمح بتطبيق هذه المتراجحات على مسائل التفاضل الكسري. كما هو معروف، يوجد في الوقت الحاضر أكثر من أربعين نوعًا مختلفًا من المشتقات الكسرية. حتى الآن تم اعتبار التفردات المناظرة مشتقات الرتب غيرالصحيحة قليلة. هدفنا هو توحيد العديد من هذة التفاوتات من خلال توحيد التفردات. يمكن القيام بذلك بإستخدام مفهوم المشتقة الكسرية لدالة ترتبط بدالة أخرى (تسمى أيضًا في بعض المراجع تعميم المشتقة الكسرية). وجود المتراجحات يظهر كحالات خاصة في المؤلفات. علاوة على ذلك، سيسمح لبعض التفردات التعامل مع المشتقات ذات الرتبة الغير الصحيحة. بالإضافة إلى ذلك سنتعامل مع التكاملات ذات الحدود المتغيرة والمتراجحات من نوع اووإيانغ وهذا النوع مع قوى مختلفة. وأخيرا، يتم التعامل مع بعض المتراجحات المندفعة.

English Abstract

The aim of this thesis is to generalize certain existing inequalities used to investigate ordinary differential equations and also some fractional differential equations. The basic one is the well-known Gronwall inequality and its different versions and generalizations such as Gronwall-Bellman, Gronwall-Pachpatte, Gronwall-Gamidov, Henry-Gronwall and Gronwall-Like inequalities. These inequalities are very efficient in proving uniqueness, boundedness and stability of solutions. They have been, in turn, generalized and extended in several directions. One of the direction is the consideration of singular kernels. This will allow the application of these inequalities to fractional differential problems. As is well-known, there are nowadays more than forty different kinds of fractional derivatives. Singularities corresponding to only few types of non-integer order derivatives have been considered so far. Our objective is to unify many of these inequalities by unifying the singularities. This can be done by using the concept of fractional derivative of a function with respect to another function (also called Generalized Fractional Derivative in some references). The existing inequalities in the literature will then appear as special cases. Moreover, it will allow for other singularities possibly corresponding to other non-integer order derivatives to be dealt with. Consequently, we will be able to apply these inequalities to a larger class of fractional differential problems. In addition to that, we shall treat integrals with variable bounds as well as Ou-Iang type inequalities, that is inequalities with different powers of the state. Finally, some impulsive inequalities also dealt with.

Item Type: Thesis (Masters)
Subjects: Math
Physics
Mechanical
Department: College of Computing and Mathematics > Mathematics
Committee Advisor: Tatar, Nasser-eddine
Committee Members: Furati, Khaled and Sarwar, Shahzad
Depositing User: MANAL ALSHAMMARI (g201908370)
Date Deposited: 09 Jun 2022 07:29
Last Modified: 09 Jun 2022 07:29
URI: https://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/142147