Asymptotic Behavior and Stability for Some Generalized Fractional Differential Equations

Asymptotic Behavior and Stability for Some Generalized Fractional Differential Equations. Masters thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

[img] PDF
final draft ms thesis (Des).pdf
Restricted to Repository staff only until 14 December 2022.

Download (993kB)

Arabic Abstract

الاشتقاق الكسري المعمم هو مصدر اهتمام للبحاثين حيث يغطي العديد من المشتقات غير الصحيحة الموجودة حتى الآن مثل مشتقات ريمان-ليوفيل برابهاكار وكابوتو وارديلي-كوبر و هارامر. في هذه الأطروحة تطرقنا لهذا النوع من الاشتقاق أولاً، أثبتنا وجود نتيجة وحل في فضاء مناسب لفئة مهمة من مشاكل التفاضل الجزئي مع المصادر غير الخطية. تتضمن هذه المجموعة من المشاكل كالً من التأخيرات المنفصلة والتأخيرات من النوع المحايد. الأداة الرئيسية هي تطبيق نظرية النقطة الثابتة كرانسولسيسكي على المعادلة التكاملية المقابلة والتي تبين أنها معادلة لمسألة التفاضل الكسري التي تكون متحققة في فضاء مناسب . بالنسبة الى الفئة من مسائل التفاضل الكسري( تشمل نوع االشتقاق السابق ذكره) مع فئة كبيرة من الجهة اليمنى التي قد تحتوي على كثيرات حدود، اتضح أن الحلول مستقرة أخيراً ، وضحنا أن مصدًرا متعدد الحدود ، والذي قد يتسبب عادةً لحدوث انفجاراً خلال وقت محدد لحلول المعادلات التفاضلية ، وهو المسؤول عن عدم وجود حل عالمي غير بديهي. يظهر هذا، بالنسبة لمشتقنا الكسري المنشأ، على الرغم من وجود شروط قد تلعب دور المخمدات. ولقد استخدمنا لذلك التقنية التي طورها ميديتيري وبوهوزاف لأختيار الأختبار المناسب والتي سوف نحددها فيما بعد

English Abstract

Of concern is a generalized fractional derivative which covers many of the existing non-integer derivatives in the literature so far such as Riemann�Liouville, Caputo, Prabhakar, Erdelyi-Kober and Hadamard derivative. First, we prove an existence result in a appropriate space for an important class of fractional differential problems with nonlinear sources. This family of prob�lems involves both discrete delays and neutral type delays. The main tool is Krasnoselskii fixed point theorem applied to the corresponding integral equa�tion which turns out to be equivalent to the fractional differential problem in a suitable space. For a class of fractional differential problems (involving the above mentioned kinds of derivatives) with a large class of right-hand sides which may contain polynomials in the state, it is shown that solutions are stable. Moreover, it is established that the rate of stability is of the order a negative power of the function with respect to which the fractional derivative is calculated. In fact, we ascertain that the absolute value of the state is bounded by this latter expression. To this end, we generalize a well-known inequality to cope with the current general situation. Finally, we demonstrate that a polynomial source, which usually may cause blow-up in finite time for solutions of differential equations, is responsible for non-existence of a nontrivial global solution. This is shown, for our generalized fractional derivative, despite the presence of lower-order terms which may play the role of dampers. We use the technique developed by Mitidieri and Pohozaev based on an appropriate choice of a test function which we will determine.

Item Type: Thesis (Masters)
Subjects: Math
Department: College of Computing and Mathematics > Mathematics
Committee Advisor: Tatar, Nasser-eddine
Committee Members: Furati, Khaled and Mustapha, Kassem
Depositing User: FATIMAH ALKHALDI (g201901050)
Date Deposited: 21 Dec 2021 05:09
Last Modified: 21 Dec 2021 05:09
URI: https://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/141983