On Classification of Variational Conservation Laws and Solutions of Damped Wave Equations in Certain Riemannian Metrics. PhD thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

Preview

PDF final_thesis.pdf - Accepted Version Download (1MB) | Preview

Arabic Abstract

في هذا البحث، نركز اهتمامانا على حل بعض معادلات التطور المهمة في الفيزياء الرياضية في كل من الهندسات المعيارية و اللورنتزية. من اجل البحث عن الحلول و الخواص الفيزيائية الاخرى التي تنطبق على هذه المعادلات، نلتزم بشكل رئيسي بتطبيق المقاربات التي تعتمد على تناظرات "لي" و تناظرات "نويثر" للمعادلات التفاضلية الجزئية. تتكون الاطروحة من سبعة فصول حيث تم تخصيص الفصلين الاول و الثاني لمناقشة مختصرة للمفاهيم الاساسية التي سوف تستخدم خلال الفصول اللاحقة من هذا البحث. بعد عرض المفاهيم الاساسية، سنقوم بإجراء تصنيفا تماثليا كاملا للزمكانات غير الثابتة والمتناظرة على محورين من حيث التناظرات التغيرية التي تسمح بها هذه الزمكانات. لقد قمنا بإثبات ان عدد التناظرات التغيرية لهذا النوع من الزمكانات قيد الدراسة يتراوح بين 4 و 17 تناظرا تمثل تناظرات الجبر الادنى و تناظرات الجبر الاعلى على التوالي. بعد ذلك نقوم بدراسة نوعين من المعادلات الموجية المثبطة في بعد واحد و ابعاد متعددة. باستخدام تناظرات " لي "سنقوم بإجراء تصنيفا تماثليا للمعادلة الموجية المثبطة احادية البعد مع قوة مثبطة و حد اضافي يمثل المصدر، بجانب معادلة اخرى ذات ابعاد (2+1) مع قوة مثبطة متغيرة. باستخدام التناظرات المستنتجة سنوجد حلولا للمعادلتين قيد الدراسة. واضعين نصب اعيننا اهمية دراسة التذبذبات الموجية على الاجسام المنحنية محليا، قمنا بدراسة المعادلة الموجية المثبطة على سطح الكرة. باستخدام تناظرات " لي " المستخلصة سنقوم باختزال المعادلة الموجية قيد الدراسة، حيث سيتم تقليصها في كل حالة اختزال الى معادلة تفاضلية عادية و من ثم ايجاد حلول لها عن طريق تحليل المعادلات المختزلة. اخيرا، سوف نركز اهتمامنا على دراسة معادلة الحرارة النسبوية في زمكان فريدمان – لاميتير-روبرتسون - وولكر المسطح. هذه المسالة مهمة في علم الكونيات حيث انها تمثل حلولا لمعادلات المجال لأينشتين. باستخدام طريقة فصل المتغيرات ، قمنا باشتقاق حلولا دقيقة لمعادلة الحرارة قيد الدراسة تمثل نماذج مختلفة للكون، تحديدا نموذج الكون المحكوم بالطاقة، والكون المحكوم بالمادة، واخيرا الكون المحكوم بالطاقة المظلمة. لقد توصلنا في هذا البحث لاستنتاج مثير حيث وجدنا انه عندما تهيمن الطاقة المظلمة على الكون بشكل مطلق و يصبح التمدد الكوني ذات طابع اسي ( وهي الحالة التي لم تحدث بعد ) فان الحلول التي اوجدناها تمثل انخفاضا في درجة حرارة اشعة الخلفية الكونية. من اجل تحقيق الشمولية في هذه الجزئية من البحث، قمنا بتحليل الخواص التناظرية لمعادلة الحرارة النسبوية قيد الدراسة لاستخدام هذه التناظرات في إجراء اختزالات معينة لهذه المعادلة.

English Abstract

In this dissertation, our focus is to solve some evolution type equations of interest in mathematical physics, in both canonical as well as in Lorentzian geometries. To investigate solutions and other physical properties admitted by the considered equations, we mainly adhere to using the Lie symmetry and Noether symmetry approach for partial differential equations. The dissertation comprises of seven chapters, of which the first two chapters are devoted to a brief discussion of preliminaries and basic notions used in the research carried out in the later chapters. After a brief discussion of preliminaries, we have focused our attention on finding a complete classification of a plane symmetric non-static spacetime metric by its variational symmetries. It is shown that the number of variational symmetries for the studied spacetime metric ranges between '4' and '17', respectively representing minimal and maximal symmetry algebra of the variational symmetries. At this stage, we digress to study two damped wave equations in one and higher dimensions. Exploiting the well-known Lie symmetry method, we first carry out a symmetry classification of a one dimensional damped wave equation with a damping force and a source term, along with a (2+1) damped wave equations with variable damping. By using the derived symmetries in both cases, certain solutions of the damped equations are presented. Keeping in view the importance of propagation of disturbances on the surface of locally curved objects, we have considered the damped wave equation on the surface of the sphere. Using the derived Lie symmetries of the equation, we perform certain similarity reductions of the considered equation. In each case, the studied damped wave equation is transformed to an ordinary differential equation (ODE),and later exact solutions are obtained by a further analysis of these ODEs. Finally, we have also focused on an interesting problem by considering the relativistic heat equations in Friedmann-Lematre-Robertson-Walker flat spacetime metric. This is a problem of interest in standard cosmology as being a solution of the Einstein field equations. Using the separation of variable method in this case, we have obtained exact solutions of the Relativistic heat equation corresponding to radiation, matter and dark energy dominated universes. Interestingly, we have found that when the dark energy completely dominates the contents of the universe and the expansion is purely exponential (which is not yet the case), a solution obtained represents decrease of the cosmic microwave background temperature . For completeness, we also employ the Lie symmetry method to find Lie symmetries of the considered equation and perform certain reductions.

Item Type:	Thesis (PhD)
Subjects:	Math
Department:	College of Computing and Mathematics > Mathematics
Committee Advisor:	Bokhari, A. H.
Committee Co-Advisor:	Zaman, F
Committee Members:	Azad, H and Bahlouli, H and Sahin, A
Depositing User:	Usamah Ali (g199159260)
Date Deposited:	16 Jul 2017 10:11
Last Modified:	31 Dec 2020 07:00
URI:	http://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/140403