NUMERICAL SCHEMES FOR PARABOLIC PROBLEMS HAVING NON-SMOOTH DATA WITH APPLICATIONS. Masters thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

Preview

PDF MSc_Thesis_Salah_Alrabeei.pdf - Submitted Version Download (1MB) | Preview

Arabic Abstract

في هذه الرسالة نقوم بتطوير طرق عددية تتسم بالإستقرارية والدقة والكافئة العالية لحل معادلات تفضالية تكاملية خطية وشبه خطية التي تستخدم في الرياضيات المالية لستعير عقود الإختيار المالية الأوروبية والأمريكية في حال وجود قفزات غير متوقعة في الأسعار. عدم وجود حلول حقيقية ) تحليلية( لهذه المعادلات حثنا للبحث عن طرق عددية ذات كفاءة لحل هذه المعادلات حلا تقريبا )عدديا(. نستخدم طريقة الفروق المنتهية (Chebyshiv spectral( المركزية من الدرجة الثانية وطريقة شيبيشيف الطيفية وأيضا طريقة شبة )spatial discretization( ذات التقارب العالي للتقريب المكاني لحل (Clenshaw-Curtis ( المنحرف المركبة وطريقة كلينشاو كورتس التربيعية )Pade approximation ( التكامل عدديا )تقريبا(. ومن ثم نستخدم تقريب باديه لإيجاد الحل التقريبي الدوال الأسية ذات المصفوفات لتطوير طرق عددية معتمدة .)time-stepping( . على الزمن بإستخدام هذي الطرق سنضمن انت تكون الحلول العددية ذات تتقارب من الرتبة الثانية والرابعة. لتخفيض الزمن المستغرق لتنفيذ هذه الحلول العددية ، نستخدم لعملية ظرب مصفوفة بمتجة والتي (FFT) خوازمية تحويلات فورير السريعة تستهلك وقت كثير عندما تكون عملية الظرب بالظرب الإعتيادي. ليس هذا فقط، في تقريب )Pade approximation ) وإنما أستخدام الشكل الجزي لتقريبات باديه الدوال الأسية ذات المصفوفات يستهلك جزء بسيط جدا من الوقت بالمقارنة مع حساب قيمة الدالة الأسية ذات المصفوفة مباشرة عبر أي برنامج مثل الماتلاب. العديد من الأمثلة والتجارب العددية ستُعطى لإظهار وإثبات الكفاءة العالية والدقة والإستقرارية في الطرق العددية المستخدمة.

English Abstract

We develop stable, reliable and computationally efficient numerical schemes for solving linear and semi-linear partial integro-differential equations (PIDEs) arising in Financial Mathematics for pricing financial derivatives. These PIDEs are the mathematical formulations of the American and European style options under jump diffusion models. Non-availability of the analytical solutions for these models motivated us to investigate reliable and efficient numerical schemes that numerically solve these models. Second order central finite difference methods are used for the spatial discretization, and composite Trapezoidal rule to approximate the integral term. We use Pad`e approximations for the matrix exponential functions to develop time stepping schemes. This achieves second order of convergence in space as well as in time. To achieve fourth order of convergence in both space and time, we use certain powerful numerical methods such as the Chebyshev Spectral Method for the spatial discretization and the Clenshaw-Curtis Quadrature to approximate the integral term. Then we use the fourth order Pad`e approximations. Two efficient tools are used in this thesis to acquire an accurate numerical solution in much less computational cost. The FFT algorithm used as a matrix-vector multiplication solver experimentally proves that it is much better than the straightforward matrix-vector multiplication. Calculating the matrix exponential functions and the inverse of higher order matrices make the schemes computationally expensive. To overcome this issue, we use the partial fraction form of the Pad`e schemes developed by Saad et.al. [25], and Khaliq et.al. [22] . This reduces the computational cost. Several Numerical experiments are given to support the analysis and to numerically prove the accuracy and efficiency of the schemes.

Item Type:	Thesis (Masters)
Subjects:	Math
Department:	College of Computing and Mathematics > Mathematics
Committee Advisor:	Yousuf, Mohammad
Committee Co-Advisor:	M.Khaliq, Abdul Q.
Committee Members:	M. Furati, Khaled and A.Bokhari, Muhammad and A. Fairag, Faisal
Depositing User:	SALAH ABDO MURSHED ALRABEEI (g201304370)
Date Deposited:	29 Jan 2017 06:13
Last Modified:	31 Dec 2020 06:43
URI:	http://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/140242