On the Extension of the Bessel Functions of the First Kind with Applications to some Mathematical Integrals and Transforms. PhD thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

Preview

PDF PHD_Thesis_for_AbdulKhaleg_AlBaiyat.pdf - Accepted Version Download (2MB) | Preview

Arabic Abstract

سوف نقوم في هذه الدراسة بتعميم دوال بسل ذات التطبيقات الكثيرة في المجالات الهندسية. وسوف يكون ذلك من خلال تعميم دالة الكنفلونت هايبرجيومترك. حيث إننا سنقوم ببعض الدراسة للدالة الأصلية، والتي يمكن ربطها مباشرة مع دوال بسل الأصلية والمغيّرة من النوع الأول. ولذلك فإن تعميمها (دالة الكنفلونت هايبرجيومترك) سوف يقود لتعميم كل من الدالتين الأخرتين. كما أن هذه الدراسة سوف تعطينا تمثيلا (قانونا) في صورة التكامل يربط بين جميع دوال بسل من النوع الأول مع دالة بسل من النوع الأول من الدرجة الأولى. وأما بالنسبة لطريقة التعميم، فإن ذلك سيكون من خلال تعميم دالة البيتا ذات المتغيرين (س،ص)، والتي سوف نقوم بتقديم نتائج مهمة حولها في هذه الدراسة. وعلى وجه الخصوص، فإننا سنقدم نتيجة مهمة توضّح أن الفرق بين أي دالتين بيتا من خلال الإزاحة لمتغيرها الأول (س) بأي مقدار (ن ≥ 1، حيث ن عدد طبيعي) يساوي الفرق بين أي دالتين بيتا من خلال الإزاحة لمتغيرها الثاني (ص) بنفس مقدار الإزاحة. وأما بالنسبة لتطبيقات هذه الدالة (دالة بسل المعممة)، فقد قمنا بتعميم تكامُلَي (ليبشيتز وهنكل العام) وإيجاد النتائج في صورة رياضية محكمة. كما قمنا بإيجاد تحويل (لابلاس) لدالة بسل المعممة من النوع الأول من الدرجة الصفر. ومما يدعو للاهتمام هنا هو أنه لم يكن بالإمكان كتابة هذا التحويل بصورة محكمة إلا من خلال دالة الهيبرجيومترك المعممة الحديثة التعريف. كما قمنا أيضا في هذا العمل بدراسة السلوك التقاربي للدالة، وإيجاد تكامل (ميلن – بيرنز). وفي نهاية البحث قمنا بإيجاد معادلة تفاضلية غير متجانسة تعد بمثابة التعميم لمعادلة بسل التفاضلية المتجانسة المعروفة. وقد أثبتنا أن دالة بسل المعممة من النوع الأول تحقق هذه المعادلة التفاضلية التي أوجدناها.

English Abstract

Bessel Functions that have been known in the literature and are applied in many areas in engineering fields will be extended here. They will be defined through the extension of the recently defined extended confluent hypergeometric functions. We will provide some insights into the original function which is directly related to the Bessel function and the modified Bessel function of the first kind. As such, its extension provides an extension of the two Bessel functions of the first kind as well. In particular, it provides an integral representation which {\em yields an integral formula relating the standard Bessel function of any order to the Bessel function of order 1}. Indeed, as the extension is carried out through the extension of the beta function, some important results have been derived for this function too. In particular, it is shown that the difference between the function with first variable shifted by any integer $n\geq1$ and that of the function with the first variable shifted by one is the same as the corresponding difference for the second variable.\\ As the application part is the most important part of any extension, we have applied our extension to develop the two known integral identities (Lipschitz and Hankel's) into closed mathematical forms. The Laplace transform has also been obtained for the extended Bessel function of the first kind of order zero. {\em Interestingly, the closed form of the transform is expressed in terms of the extended hypergeometric function, which has also been recently introduced}. Studies of the extended Bessel function of the first kind as the asymptotic behavior and the Mellin-Barnes integral have also been covered in this work. On the continuation of the application part, we prove that the extended Bessel function of the first kind satisfies a non homogeneous second order differential equation. The classical Bessel differential equation satisfied by the standard Bessel function is deduced as a special case of this non homogeneous differential equation.

Item Type:	Thesis (PhD)
Subjects:	Math
Department:	College of Computing and Mathematics > Mathematics
Committee Advisor:	Chaudhry, M. A.
Committee Co-Advisor:	Bokhari, A. H.
Committee Members:	Al-Homidan, S. and Sheikh, A. U. and Mustafa, M. T.
Depositing User:	ABDULKHALE ALBAIYAT (g199017650)
Date Deposited:	16 Apr 2012 12:18
Last Modified:	01 Nov 2019 15:35
URI:	http://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/138621