Fourier Transform and Distributional Representations with Some Applications. PhD thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

Preview

PDF (PhD Dissertation, Mathematics) Fourier_trans-and_distributional_rep-with-aplications_by_M-ALlail.pdf Download (2MB) | Preview

Arabic Abstract

لقد قمنا باستخدام تحويلات فورير للدوال فوق الهندسية المعممة وذلك لإيجاد قيم لتكاملات حاصل ضرب دالتين فوق هندسيتين. كُتب الناتج بدلالة دالة كام دا فيري (Kampé de Fériet) المعممة فوق الهندسية ومتعددة المتغيرات. العديد من المتطابقات الخاصة بتكاملات دالة جاوس فوق الهندسية تم اشتقاقها كحالات خاصة. أثبتنا أنه يمكن كتابة أي داله لها تحويل ميلن (Mellin transform) كمجموع لدالة ديراك دلتا، حيث يسمى هذا التمثيل بالتمثيل التوزيعي للدالة. قمنا بإيجاد التمثيل التوزيعي للدوال فوق الهندسية المعممة والذي قادنا لإيجاد بعض الصيغ الجديدة لتكاملات خاصة بهذه الدوال المعممة علاوة على صيغ جديدة لدالة جاوس وكونفلونت فوق الهندسية. أحد تطبيقات التمثيل التوزيعي أعطانا صيغة معممة للنظرية الاساسية لرمانوجن (Ramanujan's master theorem). كما أمكننا استخدام التمثيل التوزيعي لإيجاد إثبات جديد لصيغة أويلر العاكسة لدالة جاما (Euler's reflection formula) وإثبات جديد للصيغة العاكسة لدالة زيتا لريمان (Riemann's functional equation). تعميم الدوال الخاصة مثل دوال جاما وبيتا و جاوس فوق الهندسية اثبتت فائدتها في كثير من التطبيقات. قمنا باستخدام متطابقة بارسفال (Parseval's identity) لتحويل ميلن على هذه الدوال الخاصة المعممة ومنها استطعنا الحصول على بعض صيغ تكاملات حاصل ضرب دالتين منها. كذلك تم نقاش بعض تطبيقات متطابقة بارسفال لتحويل ميلن الناقص. وأخيراً قمنا بتعريف امتداد جديد لتعميمي دالة ديراك فيرمي ودالة بوس أينشتاين وذلك بإضافة عامل استقرار للصيغة التكاملية. هذه الامتدادات الجديدة اعطتنا بعض النتائج لدالة ديراك فيرمي ودالة بوس أينشتاين الأصليتين بالإضافة لبعض النتائج لباقي عائلة دالة زيتا لريمان.

English Abstract

An important aspect of the analysis of special functions is to find their properties. We use the Fourier transform representation of the generalized hypergeometric functions to evaluate integrals of products of two generalized hypergeometric functions. It turns out that the integral of products of two generalized hypergeometric functions gives generalized Kampé de Fériet's hypergeometric function. A number of integral identities for confluent and Gauss hypergeometric functions are deduced as special cases. We prove that any Mellin transformable function can be represented as a series of Dirac delta functions. This representation is called "the distributional representation". We obtain the distributional representation of the generalized hypergeometric functions which leads to some new integral formulas about generalized hypergeometric functions as well as for Gauss and confluent hypergeometric functions. An application of the distributional representation gives a formula which can be considered as a generalization of Ramanujan's master theorem. New proofs of Euler's reflection formula and the functional equation for the Riemann zeta function are presented based on the distributional representation.The generalized gamma, the extended beta, the extended Gauss hypergeometric and the extended confluent hypergeometric functions have been defined and proved to be useful in several applications. We apply Parseval's identity for the Mellin transform to these functions. Several integrals of products involving these extended functions have been obtained. Some applications of Parseval's formula for the incomplete Mellin transform are discussed. We obtain a generalization of the extended Fermi-Dirac and extended Bose-Einstein functions by inserting a regularizing factor in the integral representations. These generalizations also provide some results for the original Fermi-Dirac and Bose-Einstein functions as well as for other zeta family functions.

Item Type:	Thesis (PhD)
Subjects:	Math
Department:	College of Computing and Mathematics > Mathematics
Committee Advisor:	Tatar, Nasser-eddine
Committee Members:	Laradji, Abdallah and Korvin, Gabor and Kassem, Mustapha
Depositing User:	AL-LAIL MO HUSSAIN (g199206870)
Date Deposited:	12 Jan 2017 08:49
Last Modified:	01 Nov 2019 16:36
URI:	http://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/140163