KFUPM ePrints

Zariski-like Topologies for Lattices

l Zariski-like Topologies for Lattices. PhD thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

PDF - Accepted Version

Arabic Abstract

نقوم في هذه الرسالة بدراسة الفضاءات التوبولوجية التي هي على شاكلة فضاءات زارسكي. في الوحدة الأولى درسنا هذه الفضاءات في إطار الشبكات التامة وهو إطار أعم وأوسع من ذلك الذي دُرست فيه بعض هذه الفضاءات سابقا. درسنا بشكل خاص الشروط التي تجعل من تلك الفضاءات التوبولوجية فضاءات زارسكي. بالإضافة إلى العديد من النتائج التي لم تكن معروفة سابقا، مكنتنا بعض النتائج التي حصلنا عليها من استرجاع بعض النتائج المعروفة حول فضاءات توبولوجية لأنواع محددة من الأطياف الخاصة بحلقيّات معرَّفة على حلقات تجميعية كحالات خاصة. قمنا أيضا بدراسة العلاقة بين الخصائص الجبرية للشبكات التامة والفضاءات التوبولوجية الشبيهة بفضاءات زارسكي المرتبطة بها. في الوحدتين الثانية والثالثة قدمنا أنواعا جديدة من التمثيلات الخاصة بالحلقيّات المعرفة على حلقات إبدالية. احتوت الرسالة على العديد من التطبيقات، كما دُ ع مت النتائج والتطبيقات بالعديد من الأمثلة.

English Abstract

The thesis consists of three chapters. In Chapter One, we study Zariski-like topologies on a proper class X a complete lattice L. We consider X with the so called classical Zariski topology and study its topological properties (e.g. the separation axioms, the connectedness, the compactness) and provide sufficient conditions for it to be spectral. We study the interplay between the algebraic properties of an X-top complete lattice L and the topological properties of X. Our results are applied to several spectra which are proper classes of L := LAT(M) where M is a left module over an arbitrary associative ring R (e.g. the spectra of prime, coprime or fully prime submodules) as well as to several spectra of the dual complete lattice L0 (e.g. the spectra of first, second and fully coprime submodules of M). In Chapter Two, we work over a commutative ring R. We investigate R-modules which are second representable, i.e. those which can be written as finite sums of second R-submodules. We provide sufficient conditions for M to be second representable, in particular within the class of lifting modules. In Chapter Three, we study firstly the complete lattice L with an action from a poset S and define several spectra related to it. In particular, we show that the spectrum of coprime elements in L is nothing but the spectrum Specs(L0); where L0 is the dual lattice with the dual action of the poset S0. Applying our definitions to S =Ideal(R); where R is a commutative ring, and L :=LAT(M) where M is an R-module, we introduce a sort of dual notion to that of a primary R-submodule of M; namely that of a pseudo strongly hollow submodule. We provide existence and uniqueness theorems for pseudo strongly hollow representations of modules over commutative rings which generalize strongly hollow representations (which are the exact dual of the strongly irreducible representations of modules).

Item Type:Thesis (PhD)
Divisions:College Of Sciences > Mathematical Science Dept
Committee Advisor:Abuihlail, Jawad
Committee Co-Advisor:Echi, Othman
Committee Members:Kabbaj, Salah-Eddine and Laradji, Abdallah and Belaid, Karim
ID Code:140102
Deposited By:HROUB HAMZEH MOUSA (g201004240)
Deposited On:17 Oct 2016 10:07
Last Modified:22 Jan 2018 13:31

Repository Staff Only: item control page