Properties of Solutions for Some Classes of Nonlinear Fractional Differential Equations. PhD thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

Preview

PDF PhD_Thesis.pdf Download (1MB) | Preview

Arabic Abstract

درسنا في هذة الأطروحة السلوك المقارب، والاضمحلال، والمحدودية وانعدم وجود الحلول لبعض من المعادلات التفاضلية غير الخطيه ذات الرتب غير الصحيحه. هذة الدراسه مدفوعة ببعض الدرسات السابقة في حالة المعادلات التفاضليه ذات الرتب الصحيحه. من المعروف أن بعض الحلول تنحو الى كثيرة حدود (خط في حالة المعادلة من الرتبة الاولى) عندما يذهب الزمن الى مالانهايه والبعض الاخرى يتذبذب او يضمحل نحو الصفر او ينفجر في وقت محدود. من المهم من الناحية العملية والنظرية توسيع هذه النتائج الى المعادلات التفاضلية ذات الرتب غير الصحيحة بسبب ظهورها في العديد من التطبيقات. إلا أن هذا التوسيع ليس سهلا إذ تنشأ لدينا العديد من الصعوبات عندما نحاول استخدام الخواص المناظرة للمعادلات التفاضلية ذات الرتب الصحيحة. بعض هذة الصعوبات تكمن في طبيعة المشتقات غير الصحيحة: هي بالتعريف غير موضعية في الزمن إذ تتضمن كل تاريخ الحلول (او مشتقتة في حالة مشتقة كابوتو). علاوة على ذلك فإن نواة التكامل في هذا التعريف غير منتظمة وغير قابلة للتكامل. هذة الحقائق لا تسمح لنا باستخدام النتائج المعروفة حاليا. بالاضافة إلى ذلك فإنه من الواضح أن العديد من الخواص التى تتمتع بها المشتقات ذات الرتب الصحيحه لا يمكن استخدامها في حالة المشتقات ذات الرتب غير الصحيحة مثل قاعدة السلسلة. سوف نتجاوز هذة الصعوبات باستخدام صيغ معدلة ومطورة من متراجحة قرونوال-بلمان وبعض التقديرات المناسبه للحدود الغير المنتظمة و إستخدم طريقة دالة الاختبار. نثبت تقارب الحلول الى دوال ذات قوة كسرية موجبة اوسالبة، اودوال محدودة او انعدم وجود حلول عالمية غير تافهة لأشهر نوعين من المشتقات ذات الرتب غير الصحيحة: مشتقة ريمان-ليوفل ومشتقة كابوتو. ايضا قمنا بتوسيع نفس هذة النتائج الى نظام من المعادلات التفاضلية ذات الرتب غير الصحيحة.

English Abstract

In this dissertation we investigate the asymptotic behavior, the decay, the bound- edness and the non-existence of solutions of some fractional differential problems. The present study is motivated by some earlier work on integer order (ordinary) differential equations. It is known that solutions of some differential equations tend to a polynomial (a line for a first order equation) as time goes to infinity. Other solutions oscillate, decay to zero or blow up in finite time. It is of practical and theoretical importance to extend these results to frac- tional differential equations due to their numerous applications. Unfortunately, the generalization is not straightforward and many difficulties arise when trying to adopt similar arguments to the ordinary case. Some of the difficulties are in- viii herent to the nature of a fractional derivative : it is by definition non-local in time as it involves all the prehistory of the solution (or its derivatives in case of Caputo derivative). Moreover, the kernel involved in this definition is not regular neither summable. These facts do not permit the use of many existing results. In addition to that, it is clear that many properties of integer order derivatives (like the chain rule) are not longer valid for the non-integer order case. We shall bypass these difficulties by using modified and generalized versions of Gronwall-Bellman inequality, some appropriate estimations of singular terms (like desingularization techniques) and suitable arguments including the test function method (due to Mitidieri and Pohozaev). We prove convergence to power type functions, power type decay of solutions, boundedness of solutions and non-existence of non-trivial global solutions for two kinds of derivatives: The Riemann-Liouville fractional derivative and the Caputo fractional derivative. Our results are further extended to systems of coupled fractional differential equations.

Item Type:	Thesis (PhD)
Subjects:	Math
Department:	College of Computing and Mathematics > Mathematics
Committee Advisor:	Tatar, N. M.
Committee Members:	El-Gebeily, M. A. and Messaoudi, S. A. and Mustapha, K. A.
Depositing User:	Mohammed Dahan (g200705070)
Date Deposited:	08 Aug 2016 07:53
Last Modified:	01 Nov 2019 16:35
URI:	http://eprints.kfupm.edu.sa/id/eprint/140072