KFUPM ePrints

Local and Non-local Linearization of Scalar Second Order ODEs in the Normal Form

l Local and Non-local Linearization of Scalar Second Order ODEs in the Normal Form. Masters thesis, King Fahd University of Petroleum and Minerals.

[img]PDF
1934Kb

Arabic Abstract

إن المحاكاة الرياضية لمعظم العمليات الطبيعية و الفيزيائية تؤدي إلى معادلات تفاضلية غير خطية ولا توجد نظرية عامة لإيجاد حلول لهذه المعادلات الغير خطية. ونتيجة لهذه الصعوبات المصاحبة لحل المعادلات الغير خطية فإن فرضيات التقريب الخطي تعتبر وسيلة لتبسيط هذه المعادلات . ومع ذلك، فإن هذه الفرضيات قد تؤدي الى خطأ كبير في الحل. لذلك ، بشكل عام أصبح لزاما حل المعادلات التفاضليه الغير خطية التي تحاكي المسائل الحياتية بدون اللجوء إلى التقريب الخطي. إن عمليات التحويل الخطي تقدم تقنيات قوية لإيجاد حلول للمعادلات الغير خطية. هذه العمليات تقوم على تحويل المعادلات التفاضلية الغير خطية إلى معادلات خطية من خلال تعريف متغيرات مستقله ومتغيرات تابعة جديدة. إن الهدف من هذه الرسالة هو البحث في المسائل المتعلقة بالتحويل الخطي للمعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية باستخدام التحويلات الخطية المحلية وغير المحلية. فيما يتعلق بالمسألة الأولى في هذا البحث والتي تركز على موضوع التحويل الخطي للمعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية عبر التحويلات الخطية المحلية، لقد تم مراجعة طريقة التحويل الخطي الخاصة بلي . كما تم تقديم برهان بديل باستخدام العلاقة بين محاور تماثل لامدا والتكاملات الأولى للمعادلات التفاضلية. إضافة الى ذلك، هذه العلاقة أنتجت معايير جديدة لإمكانية التحويل الخطي كما أوجدت طريقة أقل تعقيدا لإيجاد التحويلات الخطية . لقد تم توضيح فعالية هذه الطريقة من خلال إيجاد التحويلات الخطية المحلية لشكل معين من المعادلات التفاضلية العادية الغير خطية من الدرجة الثانية . كما تم تطبيق هذه الطريقة على المعادلات التفاضلية العادية الغير خطية من الدرجة الثانية ذات المشتقة الأولى المربعة أو المكعبة. فيما يتعلق بالمسألة الثانية في هذا البحث والتي تركز على موضوع التحويل الخطي للمعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الثانية الى صيغة لاجيرعبر تحويلات سندمان الغيرمحلية. فقد قدم موريل و روميرو وصفا دقيقا للمعادلات الغير خطية التي يمكن تحويلها الى خطية بواسطة تحويلات سندمان بدلالة التكامل الأول، كما عرضوا طريقة مفصلة لايجاد تحويلات سندمان. في هذا البحث، قدمنا وصفا جديدا للمعادلات الغير خطية التي يمكن تحويلها الى خطية بواسطة تحويلات سندمان بدلالة المعاملات واقتران مساعد. ومن ثم قدمنا صيغة صريحة عامة للتكامل الأول للمعادلات التي تحقق المعيار الجديد. وبذلك فإن المعيار الجديد يقدم طريقة جديدة لايجاد التكاملات الأولى و تحويلات سندمان. لقد تم توضيح فعالية هذه الطريقة من خلال إيجاد الحل العام للمعادلات الجيوديسية على الأسطح الدروانية ذات الإنحناء الثابت بطريقة موحدة.

English Abstract

The mathematical modeling of most of the natural and physical processes leads to nonlinear differential equations and no general theory exists for finding exact solutions of such nonlinear differential equations. Because of the difficulties associated with solving nonlinear problems, simplifying assumptions are usually made to consider linear approximations of such problems. However, such assumptions may lead to significant error in the solution. Therefore, in general it is required to solve nonlinear differential equations in the form that models the nonlinear real life problem. The linearization process of transforming nonlinear differential equations to linear form by means of transformations of the independent and dependent variables provides a powerful technique of determining exact solutions of the nonlinear problem. The aim of this work is to investigate questions regarding linearization of second order ODEs via local or non-local transformations. The first problem considered is concerned with the subject of linearization of nonlinear second order ODEs via local transformations. An alternative proof of Lie's approach for linearization of second order ODEs is derived using the relationship between lambda-symmetries and the first integrals. This relation further leads to a new lambda-symmetry linearization criteria for second order ODEs which provides a new approach for constructing the linearization transformations with lower complexity. The effectiveness of the approach is illustrated by obtaining the general local linearization transformations for the nonlinear ODEs of the form y''+F_{1}(x,y) y'+F(x,y)=0. Examples of linearizing nonlinear ODEs which are quadratic or cubic in the first derivative are also presented. The second problem investigated is the linearization problem for nonlinear second order ODEs to the Laguerre form by means of generalized Sundman transformations (S-transformations). A characterization of these S-linearizable equations in terms of first integral and procedure for construction of linearizing S-transformations has been given recently by Muriel-Romero. Here we give a new characterization of S-linearizable equations in terms of the coefficients and one auxiliary function. This new criterion is used to obtain the general solutions for the first integral explicitly, providing a direct alternative procedure for constructing the first integrals and Sundman transformations. The effectiveness of this approach is demonstrated by applying it to find the general solution for geodesics on surfaces of revolution of constant curvature in a unified manner.



Item Type:Thesis (Masters)
Subjects:Math
Divisions:College Of Sciences > Mathematical Science Dept
Committee Advisor:Al-Dweik, Ahmad
Committee Co-Advisor:Mustafa, M. Tahir
Committee Members:Azad , Hassan and El-Gebeily, Mohamed and Lo, Assane
ID Code:139071
Deposited By:MARA'BEH RAED ALI (g201106890)
Deposited On:15 Jan 2014 08:29
Last Modified:24 Nov 2014 10:46

Repository Staff Only: item control page